Question

【題目】已知橢圓： 的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為， ，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)， 的面積為，橢圓的離心力為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線： 與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于， 兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】（Ⅰ）根據(jù)題目條件，由橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱性計(jì)算的面積，建立等式關(guān)系，結(jié)合關(guān)系式，離心率計(jì)算公式，問(wèn)題可得解；（Ⅱ）由題意，可分直線是否過(guò)原點(diǎn)，對(duì)截距進(jìn)行分類討論，再利用橢圓對(duì)稱性、向量共線、直線與橢圓有交點(diǎn)等性質(zhì)、條件進(jìn)行運(yùn)算即可.

試題解析：（Ⅰ）根據(jù)已知橢圓的焦距為，當(dāng)時(shí)， ，

由題意的面積為，

由已知得，∴，∴，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）若，則，由橢圓的對(duì)稱性得，即，

∴能使成立．

若，由，得，

因?yàn)?/span>， ， 共線，所以，解得．　

設(shè)， ，由

得，

由已知得，即，

且， ，

由，得，即，∴，

∴，即．

當(dāng)時(shí)， 不成立，∴，

∵，∴，即，

∴，解得或．

綜上所述， 的取值范圍為．