Question

4．求與橢圓$\frac{{x}^{2}}{121}+\frac{{y}^{2}}{146}$=1有共同焦點，且過點（0，3）的雙曲線的方程，并求出該雙曲線的實軸長、焦距、離心率．

Answer 1

分析 求得橢圓的焦點，設所求雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），由題意可得a=3，求得b=4，可得實軸長為2a，焦距為2c，運用離心率公式計算即可得到所求．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{121}+\frac{{y}^{2}}{146}$=1的焦點為（0，±5），
可設所求雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由題意可得a²+b²=25，
由雙曲線過點（0，3），可得a=3，b=4，
可得雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{16}$=1，
可得實軸長為2a=6，焦距為10，
離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用橢圓的焦點，考查雙曲線的實軸長、焦距和離心率的求法，考查運算能力，屬于基礎題．