Question

14．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓E截得的線段長為2．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線y=kx+1與橢圓E交于A，B兩點，以AB為直徑的圓與y軸正半軸交于點C．是否存在實數(shù)k，使得△ABC的內(nèi)切圓的圓心在y軸上？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓E截得的線段長為2，求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）依題意知BC⊥AC，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（0，y₀），則k_BC=$\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}}$=1，${k}_{AC}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}}$=-1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（0，y₀），則k_BC=$\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}}$=1，${k}_{AC}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}}$=-1，由此能求出存在滿足條件的k值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)焦點F（c，0），∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²，
∵過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓E截得的線段長為2，
∴$\frac{^{2}}{a}$=1，∵a²=b²+c²，∴a²=4，b²=2，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）依題意知BC⊥AC，且∠BCO=∠ACO=45°，
于是直線BC的斜率k_BC=1，直線AC的斜率k_AC=-1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（0，y₀），
則k_BC=$\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}}$=1，${k}_{AC}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}}$=-1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（0，y₀），
則k_BC=$\frac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}}$=1，${k}_{AC}=\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}}$=-1，
聯(lián)立，得x₁+x₂=k（x₂-x₁），①
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kx-2=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，②
將①式平方，并②式代入，得4k²+1=2，或k²=0，
∴存在滿足條件的k值，分別為k=$±\frac{1}{2}$或k=0．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．