Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求在f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，令f'（x）≥0得e^x≥a，分類討論：當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0在R上恒成立，當(dāng)a＞0時(shí)，得x≥lna，由此可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間以及單調(diào)減區(qū)間．
（2）分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出最小值．

解答 解：∵f（x）=e^x-ax-1，
∴f'（x）=e^x-a，
令f′（x）≥0得e^x≥a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0在R上恒成立，
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0得x≥lna，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（lna，+∞）．單調(diào)減區(qū)間為（-∞，lna）
綜上所述：當(dāng)a≤0時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（lna，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（-∞，lna）．
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）可知f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（1）=e-a-1，
當(dāng)lna≤1時(shí)，即0＜a≤e，由（1）可知f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（1）=e-a-1，
當(dāng)lna≥2時(shí)，即a≥e²，由（1）可知f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（2）=e²-2a-1．
綜上所述，當(dāng)a≤e時(shí)，f（x）_min=e-a-1，
當(dāng)a＞e時(shí)，f（x）_min=e²-2a-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．