Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=λ+（n-1）•2ⁿ，又?jǐn)?shù)列{b_n}滿足：a_n•b_n=n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)λ為何值時(shí)，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列？并求此時(shí)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由S_n=λ+（n-1）•2ⁿ，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=λ；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）由a_n•b_n=n．可得b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{λ}，n=1}\\{（\frac{1}{2}）^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，利用等比數(shù)列的定義及其求和公式即可得出．

解答 解：（1）由S_n=λ+（n-1）•2ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=λ；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n-1）•2ⁿ-（n-2）•2^n-1=n•2^n-1．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{λ，n=1}\\{n•{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）由a_n•b_n=n．可得b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{λ}，n=1}\\{（\frac{1}{2}）^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，
若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，則首項(xiàng)為b₁=$\frac{1}{λ}$，滿足n≥2的情況，故λ=1，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2$（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$．
而T_n是單調(diào)遞增的，故T_n∈[1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式性質(zhì)與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．