Question

18．正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E為線段B′C上的一點，
（Ⅰ）求正方體ABCD-A′B′C′D′的內(nèi)切球的半徑與外接球的半徑；
（Ⅱ）求三棱錐A-DED′的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長，外接球的直徑為正方體的對角線長，由此能求出正方體ABCD-A′B′C′D′的內(nèi)切球的半徑與外接球的半徑．
（Ⅱ）由${V}_{A-DE{D}^{'}}$=${V}_{E-AD{D}^{'}}$，能求出三棱錐A-DED′的體積．

解答 解：（Ⅰ）∵正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長，
外接球的直徑為正方體的對角線長，
正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，
∴正方體ABCD-A′B′C′D′的內(nèi)切球的半徑為$\frac{1}{2}$，
外接球的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）∵正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1，E為線段B′C上的一點，
∴${S}_{△AD{D}^{'}}$=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
E到平面ADD′的距離d=AB=1，
∴三棱錐A-DED′的體積：
${V}_{A-DE{D}^{'}}$=${V}_{E-AD{D}^{'}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△AD{D}^{'}}×AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{6}$．

點評 本題考查正方體的內(nèi)切球和外接球半徑的求法，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．