Question

17．若不等式x²+a|x|+1≥0對x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}}$]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-2，+∞）
• B． [-2，2]
• C． （-∞，-2]
• D． [-$\frac{5}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 通過討論x的范圍，去掉絕對值號，分離參數(shù)a，結合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：x²+a|x|+1≥0對x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}}$]恒成立，
x=0時，顯然成立，a∈R；
x∈（0，$\frac{1}{2}}$]，等價于a≥-（x+$\frac{1}{x}$），
令f（x）=-（x+$\frac{1}{x}$），x∈（0，$\frac{1}{2}$），
f′（x）=-（1-$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{（1-x）（1+x）}{{x}^{2}}$＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$]遞增，f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{2}$，
故a≥-$\frac{5}{2}$；
x∈[-$\frac{1}{2}$，0）時，等價于a≥x+$\frac{1}{x}$，
令g（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈[-$\frac{1}{2}$，0），
g′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$＜0，
g（x）在[-$\frac{1}{2}$，0）遞減，
∴g（x）的最大值是g（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{2}$，
故a≥-$\frac{5}{2}$；
故選：D．

點評 本題考查了不等式的解法，考查分類討論思想，是一道中檔題．