Question

3．若直角△ABC內(nèi)接于單位圓O，M是圓O內(nèi)的一點(diǎn)，若|$\overrightarrow{OM}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則|$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$|的最大值是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． $\sqrt{2}$+2
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$+1
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2

Answer 1

分析 由直角三角形可知O為斜邊AC的中點(diǎn)，于是$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=2$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{MB}$=3$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OB}$，所以當(dāng)$\overrightarrow{MO}$和$\overrightarrow{OB}$同向時(shí)，模長(zhǎng)最大．

解答 解：設(shè)直角三角形的斜邊為AC，∵直角△ABC內(nèi)接于單位圓O，
∴O是AC的中點(diǎn)，
∴|$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$|=|2$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{MB}$|=|3$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OB}$|，
∴當(dāng)$\overrightarrow{MO}$和$\overrightarrow{OB}$同向時(shí)，|3$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OB}$|取得最大值|3$\overrightarrow{MO}$|+|$\overrightarrow{OB}$|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，屬于中檔題．