Question

【題目】（本小題滿分14分）

已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.

（1）求的值及函數(shù)的極值；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，

（3）證明：對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在，使得當(dāng)時(shí)，恒有

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值.

（2）見(jiàn)解析.（3）見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）由，得.

從而.

令，得駐點(diǎn).討論可知：

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值.

（2）令，則.

根據(jù)，知在R上單調(diào)遞增，又，

當(dāng)時(shí)，由，即得.

（3）思路一：對(duì)任意給定的正數(shù)c，取，

根據(jù).得到當(dāng)時(shí)，.

思路二：令，轉(zhuǎn)化得到只需成立.

分，，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性.

思路三：就①，②，加以討論.

試題解析：解法一：

（1）由，得.

又，得.

所以，.

令，得.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí)，有極小值，

且極小值為，

無(wú)極大值.

（2）令，則.

由（1）得，，即.

所以在R上單調(diào)遞增，又，

所以當(dāng)時(shí)，，即.

（3）對(duì)任意給定的正數(shù)c，取，

由（2）知，當(dāng)時(shí)，.

所以當(dāng)時(shí)，，即.

因此，對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在，當(dāng)時(shí)，恒有.

解法二：（1）同解法一.

（2）同解法一.

（3）令，要使不等式成立，只要成立.

而要使成立，則只需，即成立.

①若，則，易知當(dāng)時(shí)，成立.

即對(duì)任意，取，當(dāng)時(shí)，恒有.

②若，令，則，

所以當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增.

取，

，

易知，，所以.

因此對(duì)任意，取，當(dāng)時(shí)，恒有.

綜上，對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在，當(dāng)時(shí)，恒有.

解法三：（1）同解法一.

（2）同解法一.

（3）①若，取，

由（2）的證明過(guò)程知，，

所以當(dāng)時(shí)，有，即.

②若，

令，則，

令得.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

取，

，

易知，又在內(nèi)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，恒有，即.

綜上，對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在，當(dāng)時(shí)，恒有.