Question

18．設(shè)圓O：x²+y²=1，直線l：x+2y-3=0，點(diǎn)A∈l，若圓O上存在點(diǎn)B，使得∠OAB=45°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． 1
• C． $\frac{9}{5}$
• D． $\frac{8}{9}$

Answer 1

分析 當(dāng)AB是圓的切線時(shí)，∠OAB最大，當(dāng)AB經(jīng)過圓心時(shí)∠OAB最小且等于0°．而當(dāng)A點(diǎn)距圓心O越近時(shí)，∠OAB的最大值越大；A距圓心越遠(yuǎn)時(shí)，∠OAB的最大值越�。�只要使∠OAB的最大值不小于45°就行了，也就是要找到使∠OAB的最大值等于45°的極限點(diǎn)A，當(dāng)∠OAB=45°時(shí)，連接OB，就得到一個(gè)∠OAB=45°的三角形，這時(shí)OA=$\sqrt{2}$OB，則A的坐標(biāo)滿足：（x-0）²+（y-0）²=2 與x+2y-3=0，求解方程組可得答案．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A（x，y）如圖，當(dāng)AB是圓的切線時(shí)，∠OAB最大，
∠OAB=45°時(shí)，連接OB，就得到一個(gè)∠OAB=30°的Rt三角形，
這時(shí)OA=$\sqrt{2}$OB，圓O的半徑是1，那么只要求出在直線I上距圓心為$\sqrt{2}$的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最大值．
點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足：（x-0）²+（y-0）²=2 與x+2y-3=0，
解得x=$\frac{1}{5}$或x=1．
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)的最大值為1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．正確理解題意是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．