Question

數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+…+2n=n（2n+1）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：首先證明當(dāng)n=1時等式成立，再假設(shè)n=k時等式成立，得到等式1+2+3+…+2k=k（2k+1），下面證明當(dāng)n=k+1時等式左邊=1+2+…+（2k+1）+（2k+2），根據(jù)前面的假設(shè)化簡即可得到結(jié)果，最后得到結(jié)論．

解答： 證明：1°當(dāng)n=1時的左邊等于1+2=3，右邊=1×3=3，結(jié)論成立；
2°設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即1+2+3+…+2k=k（2k+1）成立．
當(dāng)n=k+1時，左邊=1+2+…+（2k+1）+（2k+2）=k（2k+1）+（2k+1）+（2k+2）=（k+1）[2（k+1）+1]，
于是當(dāng)n=k+1時等式也成立．
綜上，對任意自然數(shù)n∈N^*等式成立

點(diǎn)評：本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立，用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟是：第一步驗(yàn)證當(dāng)n=n₀時命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時命題也成立．本題解題的關(guān)鍵是利用第二步假設(shè)中結(jié)論證明當(dāng)n=k+1時成立，本題是一個中檔題目．