Question

設(shè)n∈N^*，a_n=5ⁿ+2×3^n-1+1
（1）當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，計(jì)算a_n的值，你對{a_n}值有何猜想？
（2）請用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，代入計(jì)算a_n的值，n∈N^*，猜想a_n=5ⁿ+2×3^n-1+1能被8整除；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證5ⁿ+2×3^n-1+1（n∈N^*）能被8整除．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=5¹+2×3⁰+1=8，當(dāng)n=2時(shí)，a₂=5²+2×3¹+1=32，當(dāng)n=3時(shí)，a₃=5³+2×3²+1=144，當(dāng)n=4時(shí)，a₄=5⁴+2×3³+1=680，
∴n∈N^*，a_n=5ⁿ+2×3^n-1+1能被8整除；
（2）1°當(dāng)n=1時(shí)已證；
2°假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)命題成立，即5^k+2×3^k-1+1能被8整除．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，5^k+1+2×3^k+1=5•5^k+6•3^k-1+1=（5^k+2•3^k-1+1）+4（5^k+3^k-1），
∵5^k+2×3^k-1+1能被8整除，而5^k+3^k-1為偶數(shù)，
∴4（5^k+3^k-1）也能被8整除．即當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．
∴n∈N^*，a_n=5ⁿ+2×3^n-1+1能被8整除．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基），2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．