Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，$∠BAD={60°}，AB=2，PD=\sqrt{3}，AD=BD$，O為AC與BD的交點，E為棱PB上一點．
（1）證明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若PE=2EB，求二面角E-AC-B的大�。�

Answer 1

分析 （1）證明AC⊥PD．AC⊥BD，推出AC⊥平面PBD，然后證明平面EAC⊥平面PBD．
（2）連接OE，說明∠EOB即為二面角E-AC-B的平面角，過E作EH∥PD，交BD于點H，則EH⊥BD，在RT△EHO中，求解二面角E-AC-B的大小即可．

解答 解：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD．
∵AD=BD，∠BAD=60°，∴△ABD為正三角形，四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
而AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．
（2）如圖，連接OE，又（1）可知EO⊥AC，又AC⊥BD，
∴∠EOB即為二面角E-AC-B的平面角，
過E作EH∥PD，交BD于點H，則EH⊥BD，
又$PE=2EB，AB=2，PD=\sqrt{3}，EH=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，OH=\frac{1}{3}$，
在RT△EHO中，$tan∠EOH=\frac{EH}{OH}=\sqrt{3}$，∴∠EOH=60°，
即二面角E-AC-B的大小為60°．

點評 本題考查直線與平面所成角的求法，平面與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．