Question

17．在如圖所示的幾何體中，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，四邊形ABDC是梯形，AB∥CD，且$AB=BD=\frac{1}{2}CD=2$，∠BDC=60°，E是C₁D的中點．
（Ⅰ）求證：AE∥平面BB₁D；
（Ⅱ）當A₁A為何值時，平面B₁C₁D與平面ABDC所成二面角的大小等于45°？

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一（幾何法）：
取CD中點E，連結EF，推導出四邊形ABDF是平行四邊形，從而AF∥BD，進而平面AEF∥平面BB₁D，由此能證明AE∥平面BB₁D．
法二（向量法）：
取CD中點E，連結EF，取CF中點G，連結AG，則AG⊥AB，以A為原點，AG為x軸，AB為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設A₁A=t（t＞0），則A（0，0，0），C₁（$\sqrt{3}$，-1，t），D（$\sqrt{3}$，3，0），E（$\sqrt{3}$，1，$\frac{t}{2}$），B（0，2，0），B₁（0，2，t），利用向量法能證明AE∥平面BB₁D．
（Ⅱ）求出平面DB₁C₁的法向量，平面ABCD的法向量，利用向量法能求出當A₁A為2時，平面B₁C₁D與平面ABDC所成二面角的大小等于45°．

解答 證明：（Ⅰ）證法一（幾何法）：
取CD中點E，連結EF，
∵A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，四邊形ABDC是梯形，
AB∥CD，且$AB=BD=\frac{1}{2}CD=2$，∠BDC=60°，E是C₁D的中點，
∴EF∥CC₁∥BB₁，AB$\underset{∥}{=}$FD，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AF∥BD，
∵AF∩EF=F，BD∩BB₁=B，AF，EF?平面AEF，BD、BB₁?平面BDB₁，
∴平面AEF∥平面BB₁D，
∵AE?平面AEF，∴AE∥平面BB₁D．
證法二（向量法）：
取CD中點E，連結EF，
∵A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，四邊形ABDC是梯形，
AB∥CD，且$AB=BD=\frac{1}{2}CD=2$，∠BDC=60°，E是C₁D的中點，
∴EF∥CC₁∥BB₁，AB$\underset{∥}{=}$FD，∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∴AF=BD=2，AB=DF=2，∴AF=CF=2，∠AFC=∠BDC=60°，∴AC=2，
取CF中點G，連結AG，則AG⊥AB，
以A為原點，AG為x軸，AB為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設A₁A=t（t＞0），則A（0，0，0），C₁（$\sqrt{3}$，-1，t），D（$\sqrt{3}$，3，0），E（$\sqrt{3}$，1，$\frac{t}{2}$），B（0，2，0），B₁（0，2，t），
$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}，1，\frac{t}{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（$\sqrt{3}，1$，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，t），
設平面BB₁D的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=tz=0}\end{array}\right.$，取x=1，得y=-$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}$=$\sqrt{3}-\sqrt{3}+0=0$，且AE?平面BB₁D，
∴AE∥平面BB₁D．
解：（Ⅱ）設A₁A=t（t＞0），則C₁（$\sqrt{3}$，-1，t），D（$\sqrt{3}$，3，0），B₁（0，2，t），
$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，-4，t），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，-1，t），
設平面DB₁C₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=-\sqrt{3}a-b+tc=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=-4b+tc=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1$，$\frac{4}{t}$），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，0，1），
∵平面B₁C₁D與平面ABDC所成二面角的大小等于45°，
∴cos45°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{|\frac{4}{t}|}{\sqrt{4+\frac{16}{{t}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由t＞0，解得t=2．
∴當A₁A為2時，平面B₁C₁D與平面ABDC所成二面角的大小等于45°．

點評 本題考查線面平行的證明，考查滿足二面角的大小等于45°的線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．