Question

已知數列{a_n}為等差數列，a₁=1，公差d＞0，數列{b_n}為等比數列，且a₂=b₁，a₆=b₂，a₁₈=b₃．
（1）求數列{a_n}和數列{b_n}的通項公式；
（2）設數列{c_n}滿足對任意正整數n均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=

1

2

a_n²，m為正整數，求所有滿足不等式10²＜c₁+c₂+…+c_m＜10³的m的值．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等差數列的性質,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已條條件推導出8d²-8a₁d=0，由d＞0，a₁=1，{a_n}為等差數列，得a_n=n，從而b₁=2，b₂=6，b₃=18，{b_n}為等比數列，由此能求出bn=2•3n-1．
（2）由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=

1

2

n2，得cn=(2n-1)•3n-1，由此能求出m=4，或m=5．

解答： 解：（1）由已知a₂，a₆，a₁₈成等比數列，
∴a62=a2a18，(a1+5d)2=(a1+d)(a1+17d)，
8d²-8a₁d=0…（2分）
由d＞0，a₁=1，{a_n}為等差數列，
∴a₁=d=1，a_n=n，…（4分）
又b₁=2，b₂=6，b₃=18，{b_n}為等比數列，
∴bn=2•3n-1．…（7分）
（2）∵

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=

1

2

n2，
∴當n=1時，

c1

b1

=

1

2

，∴c₁=1…（8分）
當n≥2時，

c1 b1 +…+ cn-1 bn-1 + cn bn = 1 2 n2 c1 b1 +…+ cn-1 bn-1 = 1 2 (n-1)2

，
相減得cn=(2n-1)•3n-1
綜合得cn=(2n-1)•3n-1…（10分）
cn=(2n-1)•3n-1＞0，c1=1，c1+c2=10，
c₁+c₂+c₃=55，c₁+c₂+c₃+c₄=244c₁+c₂+c₃+c₄+c₅=973，
c₁+c₂+c₃+c₄+c₅+c₆=3646，
∴m=4，或m=5．…（13分）

點評：本題考查數列{a_n}和數列{b_n}的通項公式的求法，考查所有滿足不等式10²＜c₁+c₂+…+c_m＜10³的m的值的求法，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．