Question

7．已知△ABC中，A（1，3），BC邊所在的直線方程為y-1=0，AB邊上的中線所在的直線方程為x-3y+4=0．
（Ⅰ）求B，C點的坐標；
（Ⅱ）求△ABC的外接圓方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用解方程組的方法，求B，C點的坐標；
（Ⅱ）法一：求出圓心與半徑；法二：，利用圓的一般方程，即可求△ABC的外接圓方程．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}y-1=0\\ x-3y+4=0\end{array}\right.$解得C（-1，1）；                   …（3分）
設B（x₀，1），則AB的中點$D（\frac{{{x_0}+1}}{2}，2）$，由點D在AB邊的中線上得$\frac{{{x_0}+1}}{2}-3×2+4=0$，解得B（3，1）…（6分）
（Ⅱ）法一：易知AB⊥AC，故△ABC的外接圓的直徑為BC，圓心為BC的中點（1，1），
…（8分）
又半徑$r=\frac{1}{2}|BC|=2$，…（10分）
∴所求外接圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=4…（12分）
法二：設△ABC的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0則將A（1，3），B（1，-1），C（-1，0）三點
的坐標代入可得$\left\{\begin{array}{l}D+3E+F=-10\\ 3D+E+F=-10\\-D+E+F=-2\end{array}\right.$…（8分）
解得D=E=F=-2，…（10分）
即△ABC的外接圓方程為x²+y²-2x-2y-2=0．…（12分）

點評 本題考查直線與直線的位置關(guān)系，考查圓的方程，屬于中檔題．