Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=t|$\overrightarrow{a}$|，若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$°，則t的值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由題意可得$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=t|\overrightarrow{a}|$，利用兩個(gè)向量的夾角公式求得$|\overrightarrow|=\sqrt{\frac{{t}^{2}+2}{2}}$|$\overrightarrow{a}$|，再利用勾股定理求得t的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=t|$\overrightarrow{a}$|，∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=t|\overrightarrow{a}|$，
則cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}-|\overrightarrow{|}^{2}}{{t}^{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$，
化簡可得2$|\overrightarrow{|}^{2}$2=（2+t²）$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，∴$|\overrightarrow|=\sqrt{\frac{{t}^{2}+2}{2}}$|$\overrightarrow{a}$|，
再由$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}={t}^{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，t＞0，解得t=2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，是中檔題．