Question

4．已知函數(shù)f（x）=sin2x+2$\sqrt{3}$sin²x+1-$\sqrt{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）當x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調性即可確定出f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域確定出f（x）的最值．

解答 解：（1）f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∵ω=2，
∴函數(shù)f（x）最小正周期是T=π；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2π+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）單調遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z；
（2）∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]時
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1的最小值為1，最大值為3．
故函數(shù)f（x）的值域是[1，3]．

點評 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，函數(shù)恒成立問題，以及正弦函數(shù)的單調性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．