16.設(shè)函數(shù)$f(x)=\frac{1}{2}ln(2x)+\frac{1}{2}$,數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=f(an)(n∈N*).
(1)求證:$x>\frac{1}{2}$時(shí),f(x)<x;
(2)求證:$\frac{1}{2}<{a_n}≤1$(n∈N*);
(3)求證:$\sum_{i=1}^n{({a_i}-{a_{i+1}})}•{a_{i+1}}<\frac{3}{8}$(n∈N*).

分析 (1)令F(x)=f(x)-x=$\frac{1}{2}ln(2x)+\frac{1}{2}-x$,則${F}^{'}(x)=\frac{1-2x}{2x}$,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明$x>\frac{1}{2}$時(shí),f(x)<x.
(2)利用數(shù)學(xué)歸納法能證明$\frac{1}{2}<{a_n}≤1$(n∈N*).
(3)推導(dǎo)出$\frac{1}{2}<{a}_{n+1}=f({a}_{n})<{a}_{n}≤1$,從而${a}_{i+1}<\frac{{a}_{i}+{a}_{i+1}}{2}$,進(jìn)而(ai-ai+1)ai+1<$\frac{1}{2}({{a}_{i}}^{2}-{{a}_{i+1}}^{2})$,由此能證明$\sum_{i=1}^n{({a_i}-{a_{i+1}})}•{a_{i+1}}<\frac{3}{8}$(n∈N*).

解答 證明:(1)令F(x)=f(x)-x=$\frac{1}{2}ln(2x)+\frac{1}{2}-x$,
則${F}^{'}(x)=\frac{1-2x}{2x}$,又x>$\frac{1}{2}$,∴F′(x)<0,
∴F(x)在($\frac{1}{2}$,+∞)為減函數(shù),
∴F(x)<F($\frac{1}{2}$)=0,
∴$x>\frac{1}{2}$時(shí),f(x)<x.
(2)①當(dāng)n=1時(shí),a1=1,$\frac{1}{2}<{a}_{1}≤1$成立;
②假設(shè)n=k(k∈N*)時(shí),$\frac{1}{2}<{a}_{k}≤1$,
當(dāng)n=k+1(k∈N*)時(shí),${a}_{k+1}=f({a}_{k})=\frac{1}{2}ln(2{a}_{k})+\frac{1}{2}$,
根據(jù)歸納假設(shè)$\frac{1}{2}<{a}_{k}≤1$,
由①得:$\frac{1}{2}ln(2×\frac{1}{2})+\frac{1}{2}<\frac{1}{2}ln(2{a}_{k})+\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}ln(2×1)+\frac{1}{2}$,
∴$\frac{1}{2}<{a}_{k+1}≤1$,即n=k+1時(shí)命題成立.
綜上所述,$\frac{1}{2}<{a_n}≤1$(n∈N*).
(3)由$\frac{1}{2}<{a_n}≤1$(n∈N*),${a}_{n+1}=f({a}_{n}),x>\frac{1}{2},f(x)<x$,
得$\frac{1}{2}<{a}_{n+1}=f({a}_{n})<{a}_{n}≤1$,
∴${a}_{i+1}<\frac{{a}_{i}+{a}_{i+1}}{2}$,
∵ai-ai+1>0,
∴(ai-ai+1)ai+1<(ai-ai+1)•$\frac{{a}_{i}+{a}_{i+1}}{2}$=$\frac{1}{2}({{a}_{i}}^{2}-{{a}_{i+1}}^{2})$,
∴$\sum_{i=1}^{n}({a}_{i}-{a}_{i+1})•{a}_{i+1}$<$\frac{1}{2}({{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+…+{{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n+1}}^{2})$
=$\frac{1}{2}({{a}_{1}}^{2}-{{a}_{n+1}}^{2})=\frac{1}{2}(1-{{a}_{n+1}}^{2})$<$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{2}^{2}})$=$\frac{3}{8}$.
∴$\sum_{i=1}^n{({a_i}-{a_{i+1}})}•{a_{i+1}}<\frac{3}{8}$(n∈N*).

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、數(shù)列性質(zhì)、放縮法的合理運(yùn)用.

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