Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax³-x²（a∈R）在$x=\frac{1}{3}$處取得極值．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a的方程，解出即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²-2x，
∵函數(shù)f（x）=ax³-x²（a∈R）在$x=\frac{1}{3}$處取得極值，
∴f′（$\frac{1}{3}$）=3a•$\frac{1}{9}$-2•$\frac{1}{3}$=0，解得：a=2；
（2）由（1）得：f（x）=2x³-x²，
f′（x）=2x（3x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{3}$或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{3}$，
∴f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，$\frac{1}{3}$）遞減，在（$\frac{1}{3}$，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．