8.已知f(x)=alnx+x+1+$\frac{a+1}{x}$(a∈R).
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調性;
(Ⅱ)已知h(x)=$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$+a,若x1,x2是f(x)的兩個極值點,且?m∈(0,2],f(x1)+f(x2)>h(m),求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)求導數(shù),分類討論,利用導數(shù)的正負討論函數(shù)f(x)的單調性;
(Ⅱ)由題知,$h'(x)=\frac{{2{e^{x-1}}(x-1)}}{x^2}$,當0<x<1時,h'(x)<0,當1<x<2時,h'(x)>0,故h(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,2)上是增函數(shù),故h(x)min=h(1)=a+2,f(1)+f[(-(a+1)]=a+3+aln[-(a+1)]-a-1>a+2,即可求實數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+∞),
∵f′(x)=$\frac{(x+a+1)(x-1)}{{x}^{2}}$,(1分)
當a≥-1時,-(a+1)≤0,當0<x<1時,f′(x)<0,當x>1時,f′(x)>0,
∴f(x)的增區(qū)間為(1,+∞),減區(qū)間為(0,1);
當-2<a<-1時,0<-(a+1)<1,當0<x<-(a+1)或x>1時,f'(x)>0,當-(a+1)<x<1時,f'(x)<0,∴f(x)的增區(qū)間為(0,-(a+1)),(1,+∞),減區(qū)間為(-(a+1),1);
當a=-2時,f'(x)≥0,則f(x)的增區(qū)間為(0,+∞);
當a<-2時,-(a+1)>1,當1<x<-(a+1)時,f'(x)<0,當0<x<1或x>-(x+1)時,h'(x)>0,
∴f(x)的減區(qū)間為(1,-(a+1)),增區(qū)間為(0,1),(-(a+1),+∞).(5分)
綜上所述,當a<-2時,f(x)的減區(qū)間為(1,-(a+1)),增區(qū)間為(0,1),(-(a+1),+∞);
當a=-2時,f(x)的增區(qū)間為(0,+∞);
當-2<a<-1時,f(x)的增區(qū)間為(0,-(a+1)),(1,+∞),減區(qū)間為(-(a+1),1);
當a≥-1時,f(x)的增區(qū)間為(1,+∞),減區(qū)間為(0,1).(6分)
(Ⅱ)由題知,$h'(x)=\frac{{2{e^{x-1}}(x-1)}}{x^2}$,當0<x<1時,h'(x)<0,當1<x<2時,h'(x)>0,故h(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,2)上是增函數(shù),故h(x)min=h(1)=a+2,
由題知f(x1)+f(x2)>a+2,(8分)
由(Ⅰ)知,要使f(x)有兩個極值點,即f'(x)=0在(0,+∞)上有兩解,則a<-1且a≠-2;
當a<-2時,f(x)的減區(qū)間為(1,-(a+1)),增區(qū)間為(0,1),(-(a+1),+∞),故f(x)在x=1處取極大值f(1)=a+3,在x=-(a+1)處取極小值f[-(a+1)]=aln[-(a+1)]-a-1;
當-2<a<-1時,f(x)的增區(qū)間為(0,-(a+1)),(1,+∞),減區(qū)間為(-(a+1),1),故f(x)在x=1處取極小值f(1)=a+3,在x=-(a+1)取極大值f[-(a+1)]=aln[-(a+1)]-a-1.
由題知,f(1)+f[(-(a+1)]=a+3+aln[-(a+1)]-a-1>a+2,(11分)
∴aln[-(a+1)]-a>0,即ln[-(a+1)]<1=lne,
∴0<-(a+1)<e,解得-1-e<a<-1且a≠-2,
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為(-1-e,-2)∪(-2,-1).(12分)

點評 本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)的應用:函數(shù)的導數(shù)在求解函數(shù)的極值、函數(shù)的單調性及函數(shù)的最值中的應用,要注意分類討論思想及構造轉化思想的應用.

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