分析 (Ⅰ)求導數(shù),分類討論,利用導數(shù)的正負討論函數(shù)f(x)的單調性;
(Ⅱ)由題知,$h'(x)=\frac{{2{e^{x-1}}(x-1)}}{x^2}$,當0<x<1時,h'(x)<0,當1<x<2時,h'(x)>0,故h(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,2)上是增函數(shù),故h(x)min=h(1)=a+2,f(1)+f[(-(a+1)]=a+3+aln[-(a+1)]-a-1>a+2,即可求實數(shù)a的取值范圍.
解答 解:(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+∞),
∵f′(x)=$\frac{(x+a+1)(x-1)}{{x}^{2}}$,(1分)
當a≥-1時,-(a+1)≤0,當0<x<1時,f′(x)<0,當x>1時,f′(x)>0,
∴f(x)的增區(qū)間為(1,+∞),減區(qū)間為(0,1);
當-2<a<-1時,0<-(a+1)<1,當0<x<-(a+1)或x>1時,f'(x)>0,當-(a+1)<x<1時,f'(x)<0,∴f(x)的增區(qū)間為(0,-(a+1)),(1,+∞),減區(qū)間為(-(a+1),1);
當a=-2時,f'(x)≥0,則f(x)的增區(qū)間為(0,+∞);
當a<-2時,-(a+1)>1,當1<x<-(a+1)時,f'(x)<0,當0<x<1或x>-(x+1)時,h'(x)>0,
∴f(x)的減區(qū)間為(1,-(a+1)),增區(qū)間為(0,1),(-(a+1),+∞).(5分)
綜上所述,當a<-2時,f(x)的減區(qū)間為(1,-(a+1)),增區(qū)間為(0,1),(-(a+1),+∞);
當a=-2時,f(x)的增區(qū)間為(0,+∞);
當-2<a<-1時,f(x)的增區(qū)間為(0,-(a+1)),(1,+∞),減區(qū)間為(-(a+1),1);
當a≥-1時,f(x)的增區(qū)間為(1,+∞),減區(qū)間為(0,1).(6分)
(Ⅱ)由題知,$h'(x)=\frac{{2{e^{x-1}}(x-1)}}{x^2}$,當0<x<1時,h'(x)<0,當1<x<2時,h'(x)>0,故h(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,2)上是增函數(shù),故h(x)min=h(1)=a+2,
由題知f(x1)+f(x2)>a+2,(8分)
由(Ⅰ)知,要使f(x)有兩個極值點,即f'(x)=0在(0,+∞)上有兩解,則a<-1且a≠-2;
當a<-2時,f(x)的減區(qū)間為(1,-(a+1)),增區(qū)間為(0,1),(-(a+1),+∞),故f(x)在x=1處取極大值f(1)=a+3,在x=-(a+1)處取極小值f[-(a+1)]=aln[-(a+1)]-a-1;
當-2<a<-1時,f(x)的增區(qū)間為(0,-(a+1)),(1,+∞),減區(qū)間為(-(a+1),1),故f(x)在x=1處取極小值f(1)=a+3,在x=-(a+1)取極大值f[-(a+1)]=aln[-(a+1)]-a-1.
由題知,f(1)+f[(-(a+1)]=a+3+aln[-(a+1)]-a-1>a+2,(11分)
∴aln[-(a+1)]-a>0,即ln[-(a+1)]<1=lne,
∴0<-(a+1)<e,解得-1-e<a<-1且a≠-2,
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為(-1-e,-2)∪(-2,-1).(12分)
點評 本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)的應用:函數(shù)的導數(shù)在求解函數(shù)的極值、函數(shù)的單調性及函數(shù)的最值中的應用,要注意分類討論思想及構造轉化思想的應用.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,-1) | B. | (-1,1) | C. | (1,+∞) | D. | (-∞,-1)和(1,+∞) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com