Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=（2-a）x+a-2（1+lnx）
（1）當a=1時，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若對任意x∈（0，$\frac{1}{2}$），f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），進一步求得f（1），利用直線方程的點斜式得答案；
（2）由f（x）＞0恒成立，分離參數(shù)a，設(shè)$h（x）=2+\frac{2lnx}{1-x}$，$x∈（0，\frac{1}{2}）$，求導(dǎo)得其在$（0，\frac{1}{2}）$上的最值得答案．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x+1-2（1+lnx）=x+1-2lnx=x-2lnx-1，
${f^'}（x）=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}$．
則點（1，f（1））處的切線的斜率為f′（1）=-1．
故曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-f（1）=-（x-1），
即y-0=-（x-1），即x+y-1=0．
（2）f（x）=（2-a）x+a-2（1+lnx）的定義域為（0，+∞），
由題意知，（2-a）（x-1）-2lnx＞0在$x∈（0，\frac{1}{2}）$上恒成立，
即（a-2）（1-x）＞2lnx在區(qū)間$（0，\frac{1}{2}）$上恒成立．
又1-x＞0，
∴$a＞2+\frac{2lnx}{1-x}$在區(qū)間$（0，\frac{1}{2}）$上恒成立．
設(shè)$h（x）=2+\frac{2lnx}{1-x}$，$x∈（0，\frac{1}{2}）$，則${h^'}（x）=\frac{{\frac{2}{x}（1-x）+2lnx}}{{{{（1-x）}^2}}}=\frac{{\frac{2}{x}-2+2lnx}}{{{{（1-x）}^2}}}$．
令$m（x）=\frac{2}{x}-2+2lnx$，$x∈（0，\frac{1}{2}）$，則${m^'}（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x}=\frac{-2+2x}{x^2}$．
當$x∈（0，\frac{1}{2}）$時，m′（x）＜0，m（x）單調(diào)遞減，
∴$m（x）＞m（\frac{1}{2}）=4-2-2ln2＞0$．
即h′（x）＞0在$（0，\frac{1}{2}）$恒成立．
∴h（x）在$（0，\frac{1}{2}）$單調(diào)遞增．
∴$h（x）＜h（\frac{1}{2}）=2+\frac{{2ln\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2}}}=2-4ln2$．
故a≥2-4ln2．
∴實數(shù)a的最小值為2-4ln2．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，訓(xùn)練了分離參數(shù)法，是中檔題．