Question

設(shè)f（x）的定義域為（0，+∞），且對任意的x，y∈（0，+∞）都有f（xy）=f（x）+f（y）成立，當(dāng)x＞1時，f（x）＞0．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（3）=1，解不等式f（x）＞f（x-1）+2．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性；注意應(yīng)用抽象函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)．
（2先把2=1+1=f（3）+f（3）=f（3×3）=f（9），則不等式f（x）＞f（x-1）+2?f（x）＞f（x-1）+f（9）?f（x）＞f[9（x-1）]，
由（1）可知函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數(shù)，得不等式組

x＞0 x-1＞0 x＞9(x-1)

，解之可得不等式解集．

解答： 解：（1）在（0，+∞）上任取兩數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
令

x2

x1

=k，則f（k）＞0
∴f（x₂）=f（kx₁）=f（k）+f（x₁）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（2）解：∵f（xy）=f（x）+f（y）且∵f（3）=1，
∴2=1+1=f（3）+f（3）=f（3×3）=f（9），
∴不等式f（x）＞f（x-1）+2?f（x）＞f（x-1）+f（9）?f（x）＞f[9（x-1）]，
由（1）可知函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴

x＞0 x-1＞0 x＞9(x-1)

解得1＜x＜

9

8

，
∴不等式解集為（1，

9

8

）

點評：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，訓(xùn)練了特值法求函數(shù)的值，考查了學(xué)生靈活處理問題和解決問題的能力，屬中檔題．