Question

6．已知函數(shù)f（x）=1+$\frac{a}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$，且曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-y+4=0平行．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）記g（x）=$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，試證明：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞（e+1）g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=1，求出a的值即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求出f′（x）＞0，從而求出f（x）在（0，+∞）遞增；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分別得出$\frac{f（x）}{e+1}$＞$\frac{2}{e+1}$，g（x）＜$\frac{2}{e+2}$，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-a+x-lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令f′（1）=1，得2-a=1，解得a=1；
（2）由（1）知，
f（x）=1+$\frac{1}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
再令ω（x）=x-lnx   則ω′（x）=$\frac{x-1}{x}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，ω′（x）＞0，ω（x）遞增，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，ω′（x）＜0，ω（x）遞減，
∴ω（x）在x=1處取得唯一的極小值，即為最小值，
即ω（x）≥ω（1）=1＞0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）要證f（x）＞（e+1）g（x），
即證$\frac{f（x）}{e+1}$＞g（x），
x＞1時(shí)，f（x）是增函數(shù)，
故f（x）＞f（1）=2，
故$\frac{f（x）}{e+1}$＞$\frac{2}{e+1}$，
g′（x）=$\frac{{2e}^{x-1}（1{-e}^{x}）}{{（{xe}^{x}+1）}^{2}}$，
∵x＞1，∴1-e^x＜0，∴g′（x）＜0，
即g（x）在（1，+∞）遞減，
∴x＞1時(shí)，g（x）＜g（1）=$\frac{2}{e+1}$，
∴$\frac{f（x）}{e+1}$＞$\frac{2}{e+1}$＞g（x），
即f（x）＞（e+1）g（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查曲線的切線方程問(wèn)題，是一道中檔題．