【題目】如圖，在三棱錐中， 是正三角形，面面， ， ， 和的重心分別為， .

（1）證明： 面；

（2）求與面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）取中點，連結，由重心性質可得， ，推導出出，即可證明面；（2）以中點為原點，建立空間直角坐標系，由及，推導出及，再根據(jù)條件寫出， ， ，然后求出面的一個法向量，即可求出與面所成角的正弦值.

試題解析：（1）證明：取中點，連結，由重心性質可知， 分別在， 上且， ，所以在中有，

所以，又平面， 平面，

所以平面.

（2）解：以中點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

∵，

∴

∴，

又由條件， ， ，

∴， ， .

設面的法向量為，則

取，則∴，

∴，即所求角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如下圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面，，，分別是，的中點.

（I）證明：平面；

（II）取，在線段上是否存在點，使得與平面所成最大角的正切值為，若存在，請求出點的位置；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角梯形中， ， ， ．直角梯形可以通過直角梯形以直線為軸旋轉得到，且平面平面．

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（I）求證： ．

（II）求直線和平面所成角的正弦值．

（III）設為的中點， ， 分別為線段， 上的點（都不與點重合）．若直線平面，求的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．

（Ⅰ）求、．

（Ⅱ）設，求的最大值．

（Ⅲ）證明函數(shù)的圖像與直線沒有公共點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;

(2)當時,函數(shù)的圖象恒不在軸的上方,求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；

（Ⅱ）求證：當時，關于的不等式在區(qū)間上無解．（其中）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)在上的最小值；

（2）若，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）若，不等式恒成立，求的取值范圍

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中， ， ， 為的中點， 為的中點，且為正三角形.

（1）求證： 平面；

（2）若，三棱錐的體積為1，求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對某校高三年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖.

分組

頻數(shù)

頻率

[10,15)

10

0.25

[15,20)

24

n

[20,25)

m

p

[25,30]

2

0.05

合計

M

1

(1)求出表中M，p及圖中a的值；

(2)若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間[10,15)內的人數(shù)；

(3)估計這次學生參加社區(qū)服務人數(shù)的眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)．

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