Question

4．已知函數(shù)f（x）=alnx-$\frac{1-a}{x}$（a為常數(shù)）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線x+y-3=0垂直，求a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-x的在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由切線方程可得f′（2）=$\frac{a}{2}$+$\frac{1-a}{4}$=1，解方程即可得到a的值；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，并分解因式，由g′（x）=0得x=1或x=a-1，對(duì)a討論，當(dāng)a＞2時(shí)，當(dāng)a=2時(shí)，當(dāng)1＜a＜2時(shí)，當(dāng)a≤1時(shí)，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{a}{x}$+$\frac{1-a}{{x}^{2}}$，
由曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線x+y-3=0垂直，
可得f′（2）=$\frac{a}{2}$+$\frac{1-a}{4}$=1，
解得：a=3；
（2）g（x）=f（x）-x=alnx-$\frac{1-a}{x}$-x，
g′（x）=$\frac{a}{x}$-1+$\frac{1-a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（-x+a-1）}{{x}^{2}}$，
由g′（x）=0得x=1或x=a-1，
若a-1＞1即a＞2時(shí)，由g′（x）＜0得0＜x＜1或x＞a-1，
則a＞2時(shí)，g（x）的減區(qū)間為（0，1），（a-1，+∞）；
與函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）單調(diào)遞減不符，不合題意；
若a-1=1即a=2時(shí)，g′（x）＜0，即有g(shù)（x）的減區(qū)間為（0，+∞），符合題意；
若0＜a-1＜1即1＜a＜2時(shí)，可得g（x）的減區(qū)間為（0，a-1），（1，+∞），符合題意；
若a-1≤0，即a≤1時(shí)，g（x）的減區(qū)間為（1，+∞），符合題意；
綜上，a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．