Question

12．已知：1=1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16…
（1）歸納1+3+5+…+（2n-1）=？
（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）歸納得到1+3+5+…+（2n-1）=n²，
（2）首先證明當n=1時等式成立，再假設n=k時等式成立，得到等式1+3+5+…+（2k-1）=k²，下面證明當n=k+1時等式左邊=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1），根據(jù)前面的假設化簡即可得到結(jié)果，最后得到結(jié)論．

解答 解：（1）：1+3+5+…+（2n-1）=n²，
（2）證明：
①當n=1時，左邊=1，右邊=1，
∴左邊=右邊
②假設n=k時等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k²
當n=k+1時，等式左邊=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k²+（2k+1）=（k+1）²．
綜上①②可知1+3+5+…+（2n-1）=n²對于任意的正整數(shù)成立．

點評 本題考查用數(shù)學歸納法證明等式成立，用數(shù)學歸納法證明問題的步驟是：第一步驗證當n=n₀時命題成立，第二步假設當n=k時命題成立，那么再證明當n=k+1時命題也成立．本題解題的關(guān)鍵是利用第二步假設中結(jié)論證明當n=k+1時成立，本題是一個中檔題目．