Question

如圖，底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（1）求證：面PBD⊥面PAC；
（2）在邊BC上是否存在點(diǎn)M（異于B，C）使二面角P-DM-B的大小為60°？若存在，請(qǐng)指出M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得BD⊥PA，BD⊥AC，從而BD⊥平面PAC，由此能證明面PBD⊥面PAC．
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出在邊BC上存在點(diǎn)M，使二面角P-DM-B的大小為60°，且BM=4．

解答： （1）證明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，
又AD=2，AB=2

3

，BC=6，
∴tan∠ABD=

AD

AB

=

3

3

，tan∠BAC=

BC

AB

=

3

，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∠AEB=90°，
即BD⊥AC，
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，∴面PBD⊥面PAC．
（2）解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，
AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)BM=t（0＜t＜6），由已知得：
P（0，0，3），D（0，2，0），
B（2

3

，0，0），M（2

3

，t，0），

PD

=（0，2，-3），

PM

=（2

3

，t，-3），
設(shè)平面PDM的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • PD =2y-3z=0 n • PM =2 3 x+ty-3z=0

，
取z=2，得

n

=（

6-3t

2 3

，3，2），
由題意平面BDM的法向量

m

=（0，0，1），
∵二面角P-DM-B的大小為60°，
∴cos60°=cos＜

m

，

n

＞=

2

( 6-3t 2 3 )2+13

=

1

2

，
解得t=0（舍）或t=4．
∴在邊BC上存在點(diǎn)M，使二面角P-DM-B的大小為60°，且BM=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面與面垂直的證明，考查在邊BC上是否存在點(diǎn)M（異于B，C）使二面角P-DM-B的大小為60°的判斷與求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．