Question

已知F₁、F2是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點P（-

2

2

，

3

2

）在橢圓上，且

PF1

•

PF2

=

1

4

，⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，并且與橢圓交于不同的兩點A，B．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)

OA

•

OB

=λ，且滿足

2

3

≤λ≤

3

4

時，求弦長|AB|的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

1 2a2 + 3 4b2 =1 ( 2 2 -c，- 3 2 )•( 2 2 +c，- 3 2 )= 1 4

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由已知得⊙O：x²+y²=1，m²=k²+1，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2+2y2=2 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式，結(jié)合已知條件，利用換元法能求出弦長|AB|的取值范圍．

解答： 解：（1）∵F₁、F2是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點，
O為坐標(biāo)原點，點P（-

2

2

，

3

2

）在橢圓上，且

PF1

•

PF2

=

1

4

，
∴

1 2a2 + 3 4b2 =1 ( 2 2 -c，- 3 2 )•( 2 2 +c，- 3 2 )= 1 4

，
解得a=

2

，b=1．c=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1．
（2）∵⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，∴⊙O：x²+y²=1，
∵直線l：y=kx+m與⊙O：x²+y²=1相切，∴

|m|

k2+1

=1，即m²=k²+1，
由直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2+2y2=2 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=（4km）²-4×（1+2k²）（2m²-2）＞0，化簡可得2k²＞1+m²，
x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁•x₂=-

2m2-2

1+2k2

，
y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-2k2

1+2k2

=

1-k2

1+2k2

，

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=

1+k2

1+2k2

=λ，
∵

2

3

≤λ≤

3

4

，∴

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

3

4

，解得

1

2

≤k²≤1，
|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

，
設(shè)u=k⁴+k²（

1

2

≤k²≤1），
則

3

4

≤u≤2，|AB|=2

2μ 4μ+1

=2

1 2 - 1 2(4u+1)

，u∈[

3

4

，2]
∴

6

2

≤|AB|≤

4

3

．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，求弦長的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、換元法的合理運用．