Question

如圖所示，PA⊥平面ABC，PA=AB，AB⊥BC，M為AB中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：面PBC⊥面PAB；
（Ⅱ）若PC與平面PAB所成角的正切值為

6

2

，求直線MC與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得PA⊥BC，AB⊥BC，從而BC⊥平面PAB，由此能證明面PBC⊥面PAB．
（Ⅱ）以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線MC與平面PBC所成角的正弦值．

解答： （文）（本小題9分）．
（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
又BC?平面PBC，
∴面PBC⊥面PAB…（4分）
（Ⅱ）以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PA=AB=2，M為AB中點(diǎn)，
∴AM=MB=1，PB=

4+4

=2

2

，
∵PC與平面PAB所成角的正切值為

6

2

，
∴tan∠BPC=

BC

PB

=

6

2

，
∴BC=

6

2

×2

2

=2

3

，
∴M（1，0，0），C（0，2

3

，0），P（2，0，2），B（0，0，0），

MC

=（-1，2

3

，0），

BP

=（2，0，2），

BC

=（0，2

3

，0），
設(shè)平面BPC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BP =2x+2z=0 n • BC =2 3 y=0

，取x=1，得

n

=（1，0，-1），
設(shè)直線MC與平面PBC所成角為θ，
sinθ=|cos＜

MC

，

n

＞|=|

-1

13 × 2

|=

26

26

．
∴直線MC與平面PBC所成角的正弦值為

26

26

．…（9分）

點(diǎn)評：本題考查面面垂直的證明，考查直線與平面所成角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．