Question

2．已知實數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-2y+1≥0\\ x-y≤0\end{array}\right.$，且目標函數(shù)之z=ax+by （a＞0，b＞0）的最大值為2，則$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$的最小值為$\frac{1}{2}（3+2\sqrt{2}）$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，并找出目標函數(shù)取得最大值時的條件，進而利用基本不等式的性質(zhì)即可求出．

解答 解：由x，y滿足線性約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-2y+1≥0\\ x-y≤0\end{array}\right.$，作出可行域．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$，解得A（2，1）．
由可行域可知：當目標函數(shù)經(jīng)過點A時z取得最大值2，
∴a+b=2（a＞0，b＞0），
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}$）（a+b）=$\frac{1}{2}$（3+$\frac{2b}{a}+\frac{a}$）≥$\frac{1}{2}（3+2\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}}）$=$\frac{1}{2}（3+2\sqrt{2}）$，
當且僅當$\frac{2b}{a}=\frac{a}$，a+b=2時取等號．
故答案為：$\frac{1}{2}（3+2\sqrt{2}）$．

點評 本題考查線性規(guī)劃的有關內(nèi)容及基本不等式的運用，確定a+b=2，正確運用基本不等式是關鍵．