Question

10．已知點(diǎn)A、B、C、D在同一球面上，AB=BC=$\sqrt{2}$，AC=2，DB⊥平面ABC，四面體ABCD的體積為$\frac{2}{3}$，則這個球的體積為（　�。�

• A． 8π
• B． $\frac{8\sqrt{2}π}{3}$
• C． 16π
• D． $\frac{32π}{3}$

Answer 1

分析 將四面體擴(kuò)充為長方體，體對角線為$\sqrt{2+2+4}$=2$\sqrt{2}$，求出球的半徑，即可求出球的體積．

解答 解：根據(jù)題意知，△ABC是一個直角三角形，其面積為1．
∵DB⊥平面ABC，四面體ABCD的體積為$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{3}×1×DB$=$\frac{2}{3}$，
∴DB=2，
將四面體擴(kuò)充為長方體，體對角線為$\sqrt{2+2+4}$=2$\sqrt{2}$，
∴球的半徑R=$\sqrt{2}$
則這個球的體積為：S=$\frac{4}{3}$π（$\sqrt{2}$）³=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的體積，其中將四面體擴(kuò)充為長方體，體對角線為$\sqrt{2+2+4}$=2$\sqrt{2}$是解答的關(guān)鍵．