Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$．
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），$x•f（x）＞\frac{2a+6}{|a|}$恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時，函數(shù)$f（x）=x+\frac{2}{x}+2，x∈[2，+∞）$．f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，所以最小值為f（2）．
（2）在區(qū)間[1，+∞）上，$xf（x）={x^2}+2x+a＞\frac{2a+6}{|a|}$恒成立．令g（x）=x²+2x+a，x≥1，而函數(shù)g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，則g（x）的最小值為g_min（x）=3+a．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時，函數(shù)$f（x）=x+\frac{2}{x}+2，x∈[2，+∞）$．
f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)．
所以f（x）在區(qū)間[2，+∞）上的最小值為f（2）=5．                               
（2）在區(qū)間[1，+∞）上，$xf（x）={x^2}+2x+a＞\frac{2a+6}{|a|}$恒成立．
令g（x）=x²+2x+a，x≥1，而函數(shù)g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
則g（x）的最小值為g_min（x）=3+a，
所以當(dāng)且僅當(dāng)$3+a＞\frac{2a+6}{|a|}$時恒成立，所以a＞2或-3＜a＜-2．

點評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，以及導(dǎo)數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用，屬中等題．