分析 (1)當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)$f(x)=x+\frac{2}{x}+2,x∈[2,+∞)$.f(x)在[2,+∞)上是增函數(shù),所以最小值為f(2).
(2)在區(qū)間[1,+∞)上,$xf(x)={x^2}+2x+a>\frac{2a+6}{|a|}$恒成立.令g(x)=x2+2x+a,x≥1,而函數(shù)g(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),則g(x)的最小值為gmin(x)=3+a.
解答 解:(1)當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)$f(x)=x+\frac{2}{x}+2,x∈[2,+∞)$.
f(x)在[2,+∞)上是增函數(shù).
所以f(x)在區(qū)間[2,+∞)上的最小值為f(2)=5.
(2)在區(qū)間[1,+∞)上,$xf(x)={x^2}+2x+a>\frac{2a+6}{|a|}$恒成立.
令g(x)=x2+2x+a,x≥1,而函數(shù)g(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
則g(x)的最小值為gmin(x)=3+a,
所以當(dāng)且僅當(dāng)$3+a>\frac{2a+6}{|a|}$時(shí)恒成立,所以a>2或-3<a<-2.
點(diǎn)評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,以及導(dǎo)數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用,屬中等題.
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