Question

17．已知不等式mx²-2x-m+1＜0．
（1）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x上述不等式恒成立，求m的取值范圍；
（2）若對(duì)一切m∈[-2，2]上述不等式恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)討論，利用判別式判斷即可；
（2）可構(gòu)造關(guān)于m的一次函數(shù)g（m）=m（x²-1）-2x+1，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x上述不等式恒成立，
當(dāng)m=0時(shí)，-2x+1＜0顯然不恒成立，
當(dāng)m≠0時(shí)，要使對(duì)任意實(shí)數(shù)x上述不等式恒成立，
∴m＜0，且△＜0，
∴m²-m+1＜0，解得x∈Φ；
故不存在m，使得mx²-2x-m+1＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x上述不等式恒成立．
（2）若對(duì)一切m∈[-2，2]上述不等式恒成立，
設(shè)g（m）=m（x²-1）-2x+1，
∴g（-2）＜0，且g（2）＜0，
∴$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
故x的范圍為$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次項(xiàng)系數(shù)的討論問題和構(gòu)造一次函數(shù)，解決恒成立問題．屬于技巧性問題，應(yīng)掌握．