3．正方形ABCD的邊長為a，PA⊥平面ABCD，PA=a，則直線PB與平面PAC所成的角為30°．

分析 設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)PO，則可證BD⊥平面PAC，故而∠BPO為所求角，利用勾股定理求出OB，PB即可得出sin∠BPO．

解答 解：連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OP，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∴∠BPO為PB與平面PAC所成的角．
∵四邊形ABCD是正方形，AB=PA=a，
∴OB=$\frac{1}{2}BD$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，PB=$\sqrt{2}a$，
∴sin∠BPO=$\frac{OB}{PB}$=$\frac{1}{2}$．
∴∠BPO=30°．
故答案為：30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．

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10．極坐標(biāo)方程ρcosθ=3（ρ＞0，-$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{π}{2}$）表示什么曲線？并求出曲線上點(diǎn)的極坐標(biāo)，使它的極角θ分別等于$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$，-$\frac{π}{3}$．

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11．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)．
（1）若AA1=AB=AC=BC=2，求三棱錐A1-AEF的體積；
（2）求證：平面EFA1∥平面BCHG．

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18．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1．
（1）求異面直線A1B1與BD所成角的大�。�
（2）設(shè)直線AB1與平面ABCD所成的角為60°，求三棱錐B1-ABC的體積．

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8．如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，△PAD為等腰三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC、AB的中點(diǎn)
（Ⅰ）證明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）證明：PA⊥平面PCD；
（Ⅲ）求四棱錐P-ABCD的體積．

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15．如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$，M，N分別是CC1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A1B1上，且$\overrightarrow{{A_1}P}=λ\overrightarrow{{A_1}{B_1}}$．
（Ⅰ）證明：無論λ取何值，總有AM⊥PN；
（Ⅱ）當(dāng)λ取何值時(shí)，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角取最大值時(shí)的正切值．

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12．如圖，PA⊥平面ABCD，矩形ABCD的邊長AB=1，BC=2，E為BC的中點(diǎn)．
（1）證明：PE⊥DE；
（2）如果異面直線AE與PD所成角的大小為$\frac{π}{3}$，求PA的長及點(diǎn)A到平面PED的距離．

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13．某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖均為全等的幾何圖形（下邊是邊長為2的正方形，上邊為半圓），俯視圖為等腰直角三角形（直角邊的長為2）及其外接圓，則該幾何體的體積是4+$\frac{4\sqrt{2}π}{3}$．

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