8.已知函數(shù)f(x)=msin2x-cos2x-$\frac{1}{2}$,x∈R,若tanα=2$\sqrt{3}$且f(α)=-$\frac{3}{26}$.
(1)求實數(shù)m的值及函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在[0,π]上的遞增區(qū)間.

分析 (1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系和已知條件f(α)=-$\frac{3}{26}$求得$\frac{{4\sqrt{3}m}}{13}-\frac{-11}{26}-1=-\frac{3}{26}$,由此得到m的值;則易得函數(shù)f(x)=sin(2x-$\frac{π}{6}$)-1,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)來求最小正周期;
(2)利用(1)中得到的函數(shù)解析式和正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間解答.

解答 解:(1)$f(α)=msin2α-\frac{1}{2}cos2α-1=m•\frac{2tanα}{{1+{{tan}^2}α}}-\frac{1}{2}•\frac{{1-{{tan}^2}α}}{{1+{{tan}^2}α}}-1=\frac{{4\sqrt{3}m}}{13}-\frac{-11}{26}-1$,
又∵$f(α)=-\frac{3}{26}$,
∴$\frac{{4\sqrt{3}m}}{13}-\frac{-11}{26}-1=-\frac{3}{26}$,即$m=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$;
故$f(x)=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-1=sin({2x-\frac{π}{6}})-1$,
∴函數(shù)f(x)的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$;
(2)f(x)的遞增區(qū)間是$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$,
∴$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3},k∈Z$,所以在[0,π]上的遞增區(qū)間是[0,$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{5π}{6}$,π].

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的單調(diào)性.考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的綜合運用.

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