Question

9．如圖1，梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，點E在線段AD上，AE=AB=BC=2，∠A=60°，現(xiàn)將三角形ABE沿BE折起，如圖2，記$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=λ
（1）當λ=1時，求證：平面ABE⊥平面BCDE；
（2）當λ=2時，求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）當λ=1時，根據(jù)向量數(shù)量積的定義求出AFC是等腰直角三角形，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明平面ABE⊥平面BCDE；
（2）當λ=2時，得到三棱錐A-BCE是正三棱錐，作出二面角的平面角即可求二面角A-CD-B的余弦值．

解答 證明：（1）在梯形ABCD中，AE=AB=BC=2，∠A=60°，
∴四邊形ABCE是菱形，CD=EG=$\sqrt{3}$，DE=1，AF=FC=$\sqrt{3}$，
當λ=1時，則$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=AB•BCcos∠ABC=2×2cos∠ABC=1，
即cos∠ABC=$\frac{1}{4}$．
則在四棱錐中AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BCcos∠ABC}$=$\sqrt{4+4-2×2×2×\frac{1}{4}}$=$\sqrt{8-2}$=$\sqrt{6}$，
則滿足AF²+FC²=AC²，即△AFC是等腰直角三角形，
則AF⊥FC，
∵AF⊥BE，BE∩FC=F，
∴AF⊥平面BCDE，
∵AF?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面BCDE．

（2）若當λ=2時，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=AB•BCcos∠ABC=2×2cos∠ABC=2，
即cos∠ABC=$\frac{1}{2}$．
則△ABC，△AEC是正三角形，
即三棱錐A-BCE是正三棱錐，則A在底面的射影是底面△BCE的中心O，
在梯形ABCD中，過B作BH⊥EC，則H是EC的中點，連接AC交BH于O，
則O是△BCE的中心，
過O作OK⊥CD，
則OK=DE=1，CK=OKtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
連接AK，則AK⊥CD，
即∠AKO是二面角A-CD-B的平面角，
則AK=$\sqrt{A{C}^{2}-C{K}^{2}}$=$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{33}}{3}$，
則cos∠AKO=$\frac{OK}{AK}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{33}}{3}}$=$\frac{\sqrt{33}}{11}$

即二面角A-CD-B的余弦值是$\frac{\sqrt{33}}{11}$．

點評 本題主要考查面面垂直的判斷以及二面角的求解，根據(jù)向量數(shù)量積的定義分別確定AC的長度是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．