Question

19．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線均和圓C：x²+y²+6x+5=0相切，且圓C的圓心是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則該雙曲線的方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$
• C． $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$
• D． $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 由題意易得圓心和半徑，可得c值，再由直線和圓相切可得bc的關(guān)系可得b值，再由a²=c²-b²可得a值，可得雙曲線方程．

解答 解：∵圓C：x²+y²+6x+5=0可化為（x+3）²+y²=4，
即圓的圓心C（-3，0），半徑r=2，
∵圓C的圓心是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，∴c=3，
∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的漸近線y=$\frac{a}$x即bx-ay=0與圓C相切，
∴$\frac{|-3b-a•0|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=2，即$\frac{3b}{c}$=2，解得b=$\frac{2c}{3}$=2，
∴a²=c²-b²=9-4=5，
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及直線和圓的位置關(guān)系，屬中檔題．