Question

18．如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是邊長為6的等邊三角形，點A₁
在底面△ABC內的射影為△ABC的中心O，D，E分別為A₁B₁，BC的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若AA₁=4$\sqrt{3}$，求四棱錐A₁-CBB₁C₁的表面積．

Answer 1

分析 （I）取AC的中點F，連接A₁F，EF，通過證明四邊形A₁FED是平行四邊形得出DE∥A₁F，于是得出DE∥平面ACC₁A₁；
（II）證明BC⊥平面A₁AE，得出BC⊥A₁E，BC⊥BB₁，利用勾股定理計算A₁E，得出四棱錐各面的面積即可得出棱錐的表面積．

解答 證明：（I）取AC的中點F，連接A₁F，EF，
∵E，F分別是BC，AC的中點，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
又D是A₁B₁的中點，AB∥A₁B₁，AB=A₁B₁，
∴A₁D∥EF，A₁D=EF，
∴四邊形A₁FED是平行四邊形，
∴DE∥A₁F，又DE?平面ACC₁A₁，A₁F?平面ACC₁A₁，
∴DE∥平面ACC₁A₁．
解：（II）連接A₁O，A₁E，AE．
∵A₁O⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A₁O⊥BC，
∵△ABC是等邊三角形，E是BC的中點，
∴AE⊥BC，又AE?平面A₁AE，A₁O?平面A₁AE，AE∩A₁O=O，
∴BC⊥平面A₁AE，
∵A₁A?平面A₁AE，AE?平面A₁AE，
∴BC⊥A₁A，BC⊥A₁E，又A₁A∥B₁B，
∴BC⊥B₁B，
∵△ABC的邊長為6，∴AE=3$\sqrt{3}$，AO=2$\sqrt{3}$，OE=$\sqrt{3}$，BC=6，
∵A₁A=4$\sqrt{3}$，∴A₁O=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}-A{O}^{2}}$=6，A₁E=$\sqrt{{A}_{1}{O}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{39}$，
∴A₁C=A₁B=$\sqrt{{A}_{1}{E}^{2}+B{E}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴S${\;}_{△{A}_{1}BC}$=S${\;}_{△{A}_{1}{B}_{1}B}$=S${\;}_{△{A}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{2}×6×\sqrt{39}$=3$\sqrt{39}$，
S${\;}_{矩形B{B}_{1}{C}_{1}C}$=4$\sqrt{3}$×6=24$\sqrt{3}$，S${\;}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×{6}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$，
∴四棱錐A₁-CBB₁C₁的表面積為S=3$\sqrt{39}$×3+24$\sqrt{3}$+9$\sqrt{3}$=9$\sqrt{39}$+33$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定定理，線面垂直的判定與性質，棱錐的面積計算，屬于中檔題．