Question

13．為評估設備M生產(chǎn)某種零件的性能，從設備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：

直徑/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	68	70	71	73	合計
件數(shù)	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

經(jīng)計算，樣本的平均值μ=65，標準差σ=2.2，以頻率值作為概率的估計值．
（Ⅰ）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據(jù)以下不等式進行評判（P表示相應事件的概率）：①P（μ-σ＜X≤μ+σ）≥0.6826；②P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544；③P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974．評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；若僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部都不滿足，則等級為丁．試判斷設備M的性能等級．
（Ⅱ）將直徑小于等于μ-2σ或直徑大于μ+2σ的零件認為是次品．
（i）從設備M的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計算其中次品個數(shù)Y的數(shù)學期望EY；
（ii）從樣本中隨意抽取2件零件，計算其中次品個數(shù)Z的數(shù)學期望EZ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用條件，可得設備M的數(shù)據(jù)僅滿足一個不等式，即可得出結論；
（Ⅱ）易知樣本中次品共6件，可估計設備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06．
（�。┯深}意可知Y～B（2，$\frac{6}{100}$）），可得EY=2×$\frac{6}{100}$．
（ⅱ）確定Z的取值，利用超幾何分布可得相應的概率，即可求出其中次品個數(shù)Z的數(shù)學期望EZ．

解答 解：（Ⅰ）P（μ-σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8＞0.6826，
P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94＜0.9544，
P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=P（58.4＜X≤71.6）=0.98＜0.9974，
∵設備M的數(shù)據(jù)僅滿足一個不等式，故其性能等級為丙．
樣本中次品共6件，可估計設備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06．
（ⅰ）由題意可知Y～B（2，$\frac{6}{100}$）），于是EY=2×$\frac{6}{100}$=$\frac{3}{25}$．
（ⅱ）由題意可知Z的分布列為

Z	0	1	2
P	$\frac{{∁}_{94}^{2}}{{∁}_{100}^{2}}$	$\frac{{∁}_{6}^{1}{∁}_{94}^{1}}{{∁}_{100}^{2}}$	$\frac{{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{100}^{2}}$

E（Z）=$0×\frac{{∁}_{94}^{2}}{{∁}_{100}^{2}}$+1×$\frac{{∁}_{6}^{1}{∁}_{94}^{1}}{{∁}_{100}^{2}}$+2×$\frac{{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{100}^{2}}$=$\frac{3}{25}$．

點評 本題考查了二項分布列及其數(shù)學期望、正態(tài)分布曲線的性質，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．