Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)P（1，

3

2

），且離心率e=

3

2

，M（m，n）是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，直線l的方程為mx+nx=1
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與圓x²+y²=b²相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值；
（3）求出與直線l恒相切的定橢圓C′的方程．探究：若M（m，n）是曲線E：Ax²+By²=1（AB≠0）上的動(dòng)點(diǎn)，是否仍存在與直線l：mx+ny=1恒相切的定曲線E′？若存在，直接寫出定曲線E′的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

1 a2 + 3 4b2 =1 c a = 3 2

，能求出橢圓C的方程．
（2）圓心O到直線l的距離為d=

1

m2+n2

＜1，M（m，n）在橢圓C上，由此能求出當(dāng)m=±2時(shí)，|AB|取最大值

3

．
（3）取m=0，n=1，直線l的方程為y=1，取n=0，m=2時(shí)，直線l的方程為x=

1

2

，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，猜想橢圓C′：4x²+y²=1與直線l恒相切，由此得推導(dǎo)出存在，若點(diǎn)M（m，n）為曲線E：Ax²+By²=1（AB≠0）上的動(dòng)點(diǎn)，
則與直線l：mx+ny=1恒相切的定曲線E′的方程為

x2

A

+

y2

B

=1（AB≠0）．

解答： 解：（1）由已知得

1 a2 + 3 4b2 =1 c a = 3 2

，
解得a=2，b=1，
∴橢圓C的方程

x2

4

+y2=1．
（2）∵直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于A，B兩點(diǎn)，
則圓心O到直線l的距離為d=

1

m2+n2

＜1，
M（m，n）在橢圓C上，
∴

m2

4

+n2=1＜m2+n2，得0＜m²≤4，
又|AB|=2

1-a2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 4 3m2+4

≤

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=4，即m=±2時(shí)，|AB|取最大值

3

．
（3）取m=0，n=1，直線l的方程為y=1，
取n=0，m=2時(shí)，直線l的方程為x=

1

2

，
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，猜想橢圓C′：4x²+y²=1與直線l恒相切．
理由如下：
①當(dāng)n≠0時(shí)，由

4x2+y2=1 y= 1-mx n

，消去y，得（m²+4n²）x²-2mx+1-n²=0，
△=（-2m）²-4（m²+4n²）（1-n²）=4n²（m²+n²-4），
∵M(jìn)（m，n）是橢圓

x2

4

+y2=1上的點(diǎn)，∴

m2

4

+n2=1，即m²+4n²=4，
∴△=4n²（m²+n²-4）=0恒成立，
∴橢圓C′：4x²+y²=1與直線l恒相切．
②當(dāng)n=0時(shí)，m=±2，此時(shí)直線l的方程為x=

1

2

或x=-

1

2

，
與橢圓4x²+y²=1相切．
綜上①②，得存在橢圓C′：4x²+y²=1與直線l恒相切．
存在，若點(diǎn)M（m，n）為曲線E：Ax²+By²=1（AB≠0）上的動(dòng)點(diǎn)，
則與直線l：mx+ny=1恒相切的定曲線E′的方程為

x2

A

+

y2

B

=1（AB≠0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長(zhǎng)的最大值的求法，考查定曲線是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．