Question

函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）且對一切x＞0，y＞0，都有f(

x

y

)=f（x）-f（y），當x＞1時，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（3）若f（6）=1，解不等式f（x+5）-f(

1

x

)＜2．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由條件只要令x=y=1，即可得到f（1）=0；
（2）令0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，當x＞1時，有f（x）＞0．f（

x2

x1

）＞0，再由條件即可得到單調(diào)性；
（3）由f（6）=1，求出f（36）=2f（6）=2，f（x+5）-f(

1

x

)＜2即f[x（x+5）]＜f（36），再運用單調(diào)性，即可得到不等式，解出即可．

解答： 解：（1）∵對一切x＞0，y＞0，都有f(

x

y

)=f（x）-f（y），
∴令x=y=1．則f（1）=f（1）-f（1）=0；
（2）f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數(shù)．
理由如下：令0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，當x＞1時，有f（x）＞0．
∴f（

x2

x1

）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
則f（x）在定義域（0，+∞）上遞增；
（3）若f（6）=1，則f（6）=f（

36

6

）=f（36）-f（6），f（36）=2f（6）=2，
∴f（x+5）-f(

1

x

)＜2即f[x（x+5）]＜f（36），
∵f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴0＜x（x+5）＜36，
∴x＞0且-9＜x＜4，
∴0＜x＜4．
故原不等式的解集為（0，4）．

點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查函數(shù)的單調(diào)性的證明，以及單調(diào)性的運用，注意定義域，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．