Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

6

）+sin2x，（x∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用兩角和的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，
（1）直接利用周期公式求出函數(shù)f （x）的最小正周期，；
（2）由x的范圍求出“2x+

π

3

”的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)f （x）的最大值、最小值，再寫出函數(shù)的值域．

解答： 解：由題意得，f（x）=

3

2

cos2x-

1

2

sin2x+sin2x
=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)，
（1）f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由x∈[0，

π

2

]得，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

時(shí)，此時(shí)x=

π

12

，函數(shù)f（x）取到最大值1，
當(dāng)2x+

π

3

=

4π

3

時(shí)，此時(shí)x=

π

2

，函數(shù)f（x）取到最小值-

3

2

，
故函數(shù)的值域是[-

3

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的最小正周期、最值的求法，考查計(jì)算能力，這是�？碱}型．