Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-1．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若a＞0，且對(duì)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），從而求出切線方程即可；
（2）分離參數(shù)，得到a＞x（1-lnx）對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，設(shè)g（x）=x（1-lnx），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=2時(shí)，$f（x）=\frac{2}{x}+lnx-1$，
所以$f'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}$，則f'（1）=-1，
又f（1）=1，所以切線方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0．
（2）因?yàn)閍＞0，且對(duì)x∈（0，2e]時(shí)，f（x）＞0恒成立，
即$\frac{a}{x}+lnx-1＞0$對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
所以a＞x（1-lnx）對(duì)x∈（0，+∞）恒成立．
設(shè)g（x）=x（1-lnx）=x-xlnx，x∈（0，+∞），
則g'（x）=1-lnx-1=-lnx，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
所以g（x）_max=g（1）=1-ln1=1，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線方程問(wèn)題，是一道中檔題．