Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=4a_n+1．
（Ⅰ）證明：{a_n+$\frac{1}{3}}\right.$}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{a_n}$＜$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1=4a_n+1，得${a_{n+1}}+\frac{1}{3}=4（{{a_n}+\frac{1}{3}}）$，利用等比數(shù)列的定義及其通項公式即可得出．
（II）由（1）可得：$\frac{1}{a_n}=\frac{3}{{{4^n}-1}}$，當(dāng)n≥1時，4ⁿ-1≥3×4^n-1，可得$\frac{1}{{{4^n}-1}}≤\frac{1}{{3×{4^{n-1}}}}$．再利用等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列的單調(diào)性即可證明．

解答 證明：（I）由a_n+1=4a_n+1，得${a_{n+1}}+\frac{1}{3}=4（{{a_n}+\frac{1}{3}}）$，又${a_1}+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，
∴$\left\{{{a_n}+\frac{1}{3}}\right\}$是首項為$\frac{4}{3}$，公比為4的等比數(shù)列．
∴a_n+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}×{4}^{n-1}$，
∴${a_n}=\frac{{{4^n}-1}}{3}$．
（II）由（1）可得：$\frac{1}{a_n}=\frac{3}{{{4^n}-1}}$，
當(dāng)n≥1時，4ⁿ-1≥3×4^n-1，∴$\frac{1}{{{4^n}-1}}≤\frac{1}{{3×{4^{n-1}}}}$．
于是：$\frac{1}{a_1}+…+\frac{1}{a_n}≤1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{{{4^{n-1}}}}=\frac{4}{3}（{1-\frac{1}{4^n}}）＜\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{a_1}+…+\frac{1}{a_n}＜\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義通項公式及其求和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．