Question

11．已知g（x）=|x²-ax-a|，若對于任意實數a，存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）≥k成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 對a分類求出g（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值為M（a），然后利用單調性求出函數M（a）的最小值求得k的值．

解答 解：記g（x）=|f（x）|=|$（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}-a$|在區(qū)間[0，1]上的最大值為M（a），
（1）當$\frac{a}{2}≤0$時，f（x）在區(qū)間[0，1]上遞增，且f（0）=-a≥0，
∴當x∈[0，1]時，g（x）_max=f（x）_max=f（1）=1-2a，
（2）當$0＜\frac{a}{2}≤1$，即0＜a≤2時，f（0）=-a＜0，
∴g（x）_max=max{$g（\frac{a}{2}），g（1）$}=max{$\frac{{a}^{2}}{4}+a，|1-2a|$}．
①當0$＜a≤\frac{1}{2}$時，g（x）_max=max{$\frac{{a}^{2}}{4}+a，1-2a$}．
1°當0$＜a≤-6+2\sqrt{10}$時，$\frac{{a}^{2}}{4}+a≤1-2a$，∴g（x）_max=1-2a；
2°當$-6+2\sqrt{10}＜a≤\frac{1}{2}$時，$\frac{{a}^{2}}{4}+a＞1-2a$，∴$g（x）_{max}=\frac{{a}^{2}}{4}+a$；
②當$\frac{1}{2}＜a≤2$時，g（x）在區(qū)間（0，$\frac{a}{2}$）上遞增，在（$\frac{a}{2}，1$）上遞減，
∴$g（x）_{max}=g（\frac{a}{2}）=\frac{{a}^{2}}{4}+a$；
（3）當$\frac{a}{2}＞1$，即a＞2時，f（x）在區(qū)間[0，1]上遞減，且f（0）=-a＜0，
∴g（x）_max=g（1）=2a-1．
綜上所述，$M（a）=\left\{\begin{array}{l}{1-2a，a≤-6+2\sqrt{10}}\\{\frac{{a}^{2}}{4}+a，-6+2\sqrt{10}＜a≤2}\\{2a-1，a≥2}\end{array}\right.$，
由題意可知，k≤M（a）_min，
當a$≤-6+2\sqrt{10}$時，M（a）為減函數，∴$M（a）_{min}=M（-6+2\sqrt{10}）=13-4\sqrt{10}$；
當-6+$2\sqrt{10}＜a≤2$時，M（a）為增函數，∴$M（a）_{min}=M（-6+2\sqrt{10}）=13-4\sqrt{10}$；
當a≥2時，M（a）=2a-1為增函數，∴M（a）_min=M（2）=3．
綜上所述，M（a）的最小值為$13-4\sqrt{10}$，即k∈（-∞，13-4$\sqrt{10}$]．

點評 本題考查不等式恒成立問題，結合一元二次函數的單調性和最值關系進行分類討論，考查學生的運算能力，綜合性較強，難度較大．