Question

11．如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點．
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求直線DB₁與平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）以C為坐標原點，以CA，CB，CC₁為坐標軸建立空間直角坐標系，求出$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的坐標，通過計算$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0得出AC⊥BC₁；
（2）設(shè)BC₁與CB₁的交點為O，求出$\overrightarrow{DO}$的坐標，通過證明$\overrightarrow{A{C}_{1}}∥\overrightarrow{DO}$得出AC₁∥DO得出AC₁∥平面CDB₁；
（3）過D作DE⊥BC，連結(jié)B₁E，則DE⊥平面BCC₁B₁，于是∠DB₁E為直線DB₁與平面BCC₁B₁所成的角．利用勾股定理求出DE，B₁E，計算tan∠DB₁E．

解答 解：∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
以C為坐標原點，以CA，CB，CC₁為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
（1）A（3，0，0），C（0，0，0），B（0，4，0），C₁（0，0，4），
∴$\overrightarrow{AC}$=（-3，0，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-4，4），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，
∴AC⊥BC₁
（2）設(shè)BC₁與CB₁的交點為O，則O為BC₁的中點，∴O（0，2，2），
∵D是AB的中點，∴D（$\frac{3}{2}$，2，0），
∴$\overrightarrow{DO}$=（-$\frac{3}{2}$，0，2），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=2$\overrightarrow{DO}$，
∴AC₁∥DO，又DO?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（3）過D作DE⊥BC，連結(jié)B₁E，則DE⊥平面BCC₁B₁，
∴∠DB₁E為直線DB₁與平面BCC₁B₁所成的角．
∵D是AB的中點，∴DE=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{3}{2}$，BE=$\frac{1}{2}BC=2$，
∴B₁E=$\sqrt{B{E}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴tan∠DB₁E=$\frac{DE}{{B}_{1}E}$=$\frac{3\sqrt{5}}{20}$．

點評 本題考查了線面平行，直線垂直的判定，線面角的計算，屬于中檔題．