Question

6．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求直線A₁D和平面ADC₁B₁所成的角

Answer 1

分析 取AB₁中點(diǎn)O，連結(jié)A₁O，OD，則可證明A₁O⊥平面ADC₁B₁．于是∠A₁DO為直線A₁D和平面ADC₁B₁所成的角．設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，求出A₁O和A₁D即可求出線面角的大�。�

解答 解：取AB₁中點(diǎn)O，連結(jié)A₁O，OD，
∵A₁A=A₁B₁，∴A₁O⊥AB₁，
∵AD⊥平面ABB₁A₁，A₁O?平面ABB₁A₁，
∴AD⊥A₁O，
又AD?平面ADC₁B₁，AB₁?平面ADC₁B₁，AD∩AB₁=A，
∴A₁O⊥平面平面ADC₁B₁．
∴∠A₁DO為直線A₁D和平面ADC₁B₁所成的角．
設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，則A₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A₁D=$\sqrt{2}$，
∴sin∠A₁DO=$\frac{{A}_{1}O}{{A}_{1}D}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A₁DO=30°，即直線A₁D和平面ADC₁B₁所成的角為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面角的作法與計(jì)算，構(gòu)造平面的垂線是尋找線面角的前提，屬于中檔題．