Question

已知f（x）=log_ax在[2，8]上的最大值與最小值之和為4．
（1）已知g（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）=f（x+1），求x＜0時(shí)，求g（x）的解析式；
（2）解關(guān)于x的不等式：-1＜g（x）＜

1

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),指、對(duì)數(shù)不等式的解法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）得出log_a2+log_a8=log_a16=4，得出a=2，運(yùn)用奇偶性得出g（x）=

log2(x+1)，x≥0 log2(1-x)，x＜0

，
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，-1＜log₂（x+1）＜

1

2

，0≤x＜

2

-1，當(dāng)x＜0時(shí)，-1＜log₂（1-x）＜

1

2

，求解即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_ax在[2，8]上的最大值與最小值之和為4．
∴根據(jù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，可知：log_a2+log_a8=log_a16=4，
∴a=2，
∴f（x）=log₂x，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）=f（x+1）=log₂（x+1），g（x）為奇函數(shù)
∴當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）=-g（-x）=-log₂（1-x），
∴g（x）=

log2(x+1)，x≥0 log2(1-x)，x＜0

，
（2）g（x）=

log2(x+1)，x≥0 log2(1-x)，x＜0

，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，-1＜log₂（x+1）＜

1

2

，
∴0≤x＜

2

-1，
∵x＜0時(shí)，-1＜log₂（1-x）＜

1

2

，
∴1-

2

＜x＜0，
綜上x(chóng)的不等式：-1＜g（x）＜

1

2

：1-

2

＜x＜

2

-1，

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，不等式的求解，