Question

7．已知圓心為F₁的圓的方程為（x+2）²+y²=32，F(xiàn)₂（2，0），C是圓F₁上的動點，F(xiàn)₂C的垂直平分線交F₁C于D．
（I） 求動點D的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)N（0，2），過點P（-1，-2）作直線l，交D的軌跡于不同于N的A，B兩點，直線NA，NB的斜率分別為k₁，k₂，證明：k₁+k₂為定值．

Answer 1

分析 （I）由橢圓的定義，得點D的軌跡是以F₁、F₂為焦點，以4$\sqrt{2}$為長軸長的橢圓，即可求得軌跡方程；
（Ⅱ）分直線l的斜率存在和不存在兩種情況討論，斜率不存在時，直接求出A，B的坐標(biāo)，則k₁、k₂可求，求出k_l+k₂=4，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點橫坐標(biāo)的和與積，寫出斜率的和后代入A，B兩點的橫坐標(biāo)的和與積，整理后得到k_l+k₂=4．從而證得答案．

解答 （I）解：∵F₂C的垂直平分線交F₁C于D，
∴|DF₁|=|DC|．
∵|F₁C|=4$\sqrt{2}$，
∴|DF₁|+|DC|=4$\sqrt{2}$，
∴|DF₁|+|DF₂|=4$\sqrt{2}$，
∴點D的軌跡是以F₁、F₂為焦點，以4$\sqrt{2}$為長軸長的橢圓．
由c=2，a=2$\sqrt{2}$，得b²=a²-c²=8-4=4．
故曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）證明：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y+2=k（x+1），
與橢圓方程聯(lián)立，可得（1+2k²）x²+4k（k-2）x+2k²-8k=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{4k（k-2）}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-8k}{1+2{k}^{2}}$．
從而k_l+k₂═2k-（k-4）•$\frac{4k（k-2）}{2{k}^{2}-8k}$=4．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，得A（-1，$\frac{\sqrt{14}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$），
得k_l+k₂═4．
綜上，恒有k_l+k₂=4，為定值．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，此類問題常用直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求解，考查了學(xué)生的計算能力，屬難題．